Modèles et modélisation en SVT

Modélisation mathématique des émissions de carbone de 1900 à 2000

Modèles affines

Première séance : étude sur l'ensemble de la période

Le passage du tableau de valeurs et de la courbe à la fonction est la première étape de la modélisation mathématique. Ceci va permettre d'utiliser ou de construire (selon le niveau auquel on se place) les outils mathématiques permettant d'analyser les données

On souhaiterait décrire les variations des émissions de carbone à partir du tableau des données de 1900 à 2000. On peut considérer que ce tableau est le tableau de valeurs d'une fonction c qui associe à chaque année la quantité totale (en mégatonnes) de carbone émise dans l'année.

Question 1 : représentez graphiquement c
Consignes : utilisez le tableau CO2math1.ods dans lequel les années ont été numérotées à partir de 0 (pour l'année 1900)

En examinant le nuage de points obtenu on remarque que c n'est pas monotone suivant les périodes ; on peut cependant considérer que « globalement » elle est croissante et on va essayer de « mesurer » cette croissance.

Question 2 : dessinez une droite (d) qui représente le mieux possible le nuage de points ; déterminez la fonction affine f dont (d) est la représentation graphique ; en déduire l'accroissement annuel moyen de la quantité de carbone rejeté.
Consignes : imprimez le nuage de points pour dessiner la droite demandée

Une critique de l'activité précédente consiste à remarquer que la droite (d) obtenue précédemment dépend de la personne qui l'a dessinée. On peut essayer de mesurer la qualité du résultat en calculant les erreurs commises en remplaçant les données mesurées (fonction c ) par les données calculées (fonction f ) ; pour cela, pour chaque année n on calculera l'écart entre la valeur mesurée c (n) et la valeur calculée f(n) en se servant de la droite (d) . Puis on fera la moyenne de ces écarts. Plus cette moyenne est petite plus la droite (d) est « adaptée » au nuage de points.

Question 3 : représentez graphiquement la fonction f que vous avez obtenue sur le même graphique que c ; calculez la moyenne des écarts à l'aide du tableur et comparez avec les résultats des autres élèves.

Le tableur est capable de dessiner la droite qui s'adapte le mieux au nuage de points (droite de régression) ; pour cela il calcule non pas la moyenne des écarts mais la moyenne des carrés des écarts entre f (n) et c (n) ; il peut aussi afficher la qualité de l'approximation ainsi faite sous la forme d'un « coefficient de détermination » noté R2 ; dans ce cas le modèle est de bonne qualité lorsque R2 est proche de 1 (voir l'annexe 1)

Question 4 : sélectionnez le nuage de points, affichez la droite de régression, la fonction f et le coefficient R2 .

images1

On peut considérer que f est un modèle mathématique pour les variations des émissions de carbone entre 1900 et 2000 ; ce modèle est basé sur une hypothèse : les variations linéaires de ces émissions, ce qui introduit à une première réflexion sur les choix préalables à sa définition. Il permet de relier la vitesse de variation au coefficient directeur. La question 5 aborde le problème des limites de ce modèle en même temps que son utilisation comme outil de prévision

Question 5 : en utilisant les résultats précédents fournis par le tableur donnez la valeur moyenne de l'augmentation annuelle des émissions de carbone entre 1900 et 2000 ; peut on se servir de ces résultats pour prévoir les émissions futures (par exemple en 2020 et en 2050) ?

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